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Peruano resuelve problema matemático que llevaba 271 años irresuelto

Harald Helfgott. (Foto: Sophimania.pe).
Harald Helfgott. (Foto: Sophimania.pe).
Matemático Harald Helfgott conversó en exclusiva, desde Francia, con Claudia Cisneros para su blog Sophimanía.

Una de las más grandes conjeturas en Teoría de Números habría sido demostrada por el matemático peruano Harald Helfgott.

Se trata de uno de los problemas mas difíciles de resolver en la historia de las matemáticas: la conjetura débil de Goldbach, o conjetura ternaria de Goldbach que postula que todo número impar mayor de 5 es la suma de tres números primos (con alguno que puede ser repetido).

Christian Goldbach fue un historiador, hombre de leyes y matemático de Prusia (1690-1764) que en sus viajes por Europa se relacionó con conocidos genios matemáticos de su época como Gottfried Wilhem Leibniz, Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Fue, precisamente en comunicaciones epistolares con Euler, en 1742, que planteó la que por años ha sido conocida por filósofos y matemáticos como la "Conjetura de Goldbach".

Y el matemático peruano que asegura haberla resuelto conversó con Sophimanía para explicarnos por qué  se ha convertido en una noticia de importancia mundial e histórica y cómo llegó a desentrañarla.

S-¿Cuál ha sido su logro?

HH-He probado que la conjetura débil de Goldbach es cierta. La conjetura de Goldbach en sus dos formas, débil y fuerte, se plantearon en 1742, en la correspondencia entre Euler y Goldbach. Euler era probablemente el mas grande matemático de su época.

S-¿Por que es importante probar las conjeturas de Goldbach?

HH-No se trata solamente de problemas muy antiguos. Se llego a comprender en algún momento que la razón por la cual eran difíciles, era porque mezclaban la suma con los primos, y los primos se definen en términos de la multiplicación (o la división), no la suma.

Al mismo tiempo, aunque se trata de preguntas "contra el grano", no se trata de preguntas "contra natura", puesto que, para resolver muchos problemas aún irresueltos de teoría de números, se tiene que llegar, precisamente, a una mejor comprensión de la interacción de los primos, por una parte; y la suma y el orden, por otra.

De esta manera, varias conjeturas clásicas (las de Goldbach, o la de los primos gemelos, que discutiré en un instante) resultan ser enunciados simples a los que subyace una cuestión crucial y profunda. Los avance hacia estos enunciados representan, en alguna medida, un avance hacia la comprensión completa de esta cuestión: la interacción entre los primos y la suma.

S-¿Su hallazgo ha sido validado ya por sus pares? ¿Cuáles han sido los comentarios?

HH-El artículo ha tenido una muy buena recepción; no tengo conciencia de que ningún especialista haya expresado duda alguna. Esto seguramente se debe a que (yo) ya había dado charlas sobre los métodos que utilizo, y a que ya era un matemático reconocido en el área.

Claro está, para que haya una ratificación completa, habrá que esperar que envíe los artículos a una revista especializada - lo cual sucederá muy pronto - y a que los árbitros de dicha revista escriban un reporte detallado; lo cual puede tomar un año o más.

S-¿Cuándo es que Ud. halló esta comprobación de la conjetura débil de Goldbach?

HH-Comencé a trabajar en ella en 2006, aunque naturalmente también trabajaba en otros proyectos. Terminé los artículos hace poco menos de dos semanas, como sabe.

S-¿Cuándo la publicó y en qué difiere o se asemeja a lo presentado por el matemático Yitang Zhang de la Universidad de New Hampshire que acaba de salir?

HH-Ah! Muy buena pregunta. Se trata de dos conjeturas distintas con una relación especial entre ellas. Yitang Zhang ha probado un resultado impresionante: existe un numero infinito de primos p, p' tales que p y p' están a una distancia de menos de 70000000 uno del otro.

Se trata de una versión débil de la conjetura de los primos gemelos, la cual dice que existe un numero infinito de primos p, p' tales que p'-p = 2. La intuición general es que la conjetura de los primos gemelos y la conjetura fuerte de Goldbach están relacionadas a tal punto que, una vez que una de ellas caiga, la otra tambien caerá.

La relación entre las versiones débiles de cada una es un poco más distante; el hecho que sus soluciones hayan sido anunciadas el mismo día es simplemente una coincidencia.

S-Entiendo que usted presentó antes una investigción sobre ¨Minor arcs¨ para el Teorema de Goldbach. ¿Cómo es eso distinto de la Conjetura débil que Ud. aparenta haber demostrado ahora?

HH-El artículo de hace un año contiene la mitad de la prueba. Lo que acabo de presentar es la segunda mitad, así como una versión mejorada de la primera mitad.

S-¿Hace cuánto Ud. se dedica a las matemáticas y cómo ha sido su camino hasta llegar donde está ahora? ¿Exactamente a qué se dedica en estos días?

HH-Me interesaba por la matemática ya de niño, pero también me he interesado por muchas otras cosas - lenguas, ciencias, informática... He persistido con la matemática, y he llegado a establecerme como investigador.

El puesto que tengo me permite dedicarme casi íntegramente a la investigación; me ocupo un poco de algunos estudiantes, pero no tengo que enseñar a menos que quiera. Ahora que ésta prueba está terminada, tendré que encontrar nuevos problemas!

S-Ud. nació en Perú. ¿Ha vivido en el Perú? ¿Hace cuánto no viene al Perú y qué extraña de esta patria?

HH-Viví en el Perú hasta los 16 años. Vuelvo al Perú regularmente, y cuando lo hago generalmente doy charlas o dicto cursillos. A menudo tengo el gusto de hablar en el Instituto de Matemáticas y Ciencias Afines (IMCA) o también San Marcos.

Alguien estaba especulando en Facebook que debo extrañar mucho el locro. En verdad, en este momento mis padres están de visita, y el zapallo ya esta cortado. Empero, también puedo hacer locro yo mismo. Hace unos meses una pareja de matemáticos - un norteamericano y una peruana - me visitaron e hice locro con zapallos, papas, arvejas, creme fraiche... Empero, la colega me dijo que en su casa se hacía mejor.

**Bonus Track para los interesados:

S- ¿Qué es la Conjetura Goldbach?

HH-La Conjetura débil dice: Que todo número impar mayor que o igual a 7 se puede escribir como la suma de tres números primos. Ejemplos: 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3 (o 9 = 5 + 2 + 2), 11 = 3 + 3 + 5, etc.

La Conjetura fuerte dice: Que todo número par mayor que o igual a 4 se puede escribir como la suma de dos números primos. Ejemplos: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 (o 3 + 7), etc. Ejercicio para los lectores: La conjetura fuerte implica a la conjetura débil. (Por ello se llaman "débil" y "fuerte".) 

Como el nombre "conjetura" lo indica, estos enunciados permanecieron sin prueba hasta nuestros días. Por una parte, es posible verificar los primeros casos a mano o -como en nuestros días- por computadoras, pero es evidente que, por muchos casos que se verificasen (digamos, todos los impares hasta 10^30), quedaría siempre un número infinito de casos por verificar.

Por otra parte, ha habido un progreso gradual hacia la conjetura débil. El resultado mas importante es probablemente el de Vinogradov (1937), quien mostró que todo numero impar sumamente grande (más grande que C=3^3^15, como lo mostró un estudiante (Borodzkin de Vinogradov) puede ser escrito como la suma de tres primos. 

El trabajo de Vinogradov fue precedido por un articulo pionero de Hardy y Littlewood (1923), y fue seguido por una serie de trabajos que reducían el valor de C. 

Empero, C seguia siendo sumamente grande - el menor valor que se había probado era C=2*10^{1346}. En guisa de comparación, el numero de partículas subatómicas del universo multiplicado por el número de segundos desde el Big Bang es menos de 10^{100}. Por lo tanto no había ninguna esperanza de verificar todos los impares hasta C por computadora.

Aquí el paper del Dr. Helfgott de la comprobación de la Conjetura débil de Goldbach. Y aquí su trabajo anterior: Minor arcs for Goldbach’s theorem.

 

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